| Chendong's profileBlUEBlOODPhotosBlogLists |  Tools  Help |
|
|
December 05 Bill Gates' High School Speech on The Eleven Rules of LifeHere's some advice Bill Gates recently dished out at a high school speech about 11 things they did not learn in school. He talks about how feel-good, politically correct teaching has created a full generation of kids with no concept of reality and how this concept sets them up for failure in the real world. In fact, this is not From Bill Gates. It's an excerpt from the book "Dumbing Down our Kids" by educator Charles Sykes. It is a list of eleven things you did not learn in school and directed at high school and college grads. RULE 1 RULE 2 RULE 3 RULE 4 RULE 5 RULE 6 RULE 7 RULE 8 RULE 9 RULE 10 RULE 11 October 10 转载自天涯论坛的一篇文章
刚一听说阎戏说在无锡签名售书挨打时，我只是一笑了之，作为学者的阎崇年，我是鄙视的，正因如此，听到他挨了一个耳光，虽然谈不上高兴，可也没有假惺惺的要声援他，着急的替他捍卫“莫须有”被剥夺的表达权利，能在央视的百家讲坛登坛说法，这种规格的表达权利，又有几个人拥有？ 我之所以鄙视阎崇年，是因为阎对历史采取机会主义和实用主义的解读方式，历史在他眼里，没有一种恒久的品质，没有基本的道德评判标准。当一个人把满清刺刀威逼之下的剃发易服说成是历史进步的时候，他已经践踏了基本的历史道德。中国封建社会的人性压迫固然异常残酷，但中国的史家却基本上延续了一种对尊者不虚美不隐恶的历史传统，武帝的穷兵黩武、李世民宣武门之变、朱元璋诛戮功臣都能被当世的正史学家客观记录就是明证，中国自古就有“为民请命的人，拼命硬干的人，有舍身求法的人”（鲁迅语），文天祥在引颈就戮之际慷慨悲歌，“在齐太史简，在晋董狐笔”。我把史家的这种精神称之为一种历史道德，正是这种历史道德，使得在帝王的家谱里，辉耀着前仆后继的凛然正气，使我们在千载之后，仍能看清历史的阴暗苍凉与悲壮。 而我们的阎崇年把历史当作可以随意被摆弄的玩偶，历史如何被言说取决于他的需要，这种需要不取决于其个人的自由心证，而是根源于对权力的谄媚。新中国成立后，在唯物主义史学的指导下，把所有的斗争都归为阶级斗争的范畴，出于政治正确的原因，客观存在的民族斗争被虚化，这方面表现尤甚的莫过于对“同治回乱”的历史定位。一个种族屠戮的刽子手白彦虎，竟被定位成一个反抗阶级压迫的起义领袖；而与此同时，岳飞、文天祥被篪夺了民族英雄的称号，施琅、吴三桂、洪承畴反而成了值得大书特写的历史功臣。这应了一句话：一切历史都当代史。 对于这样一个以严肃学者面貌示人的历史学家，我只有鄙视，历史当然可以有不同解释，学者的价值观也可以影响其解读历史的视角，但历史是客观存在的，作为一个严肃的历史学家，不应只靠拾取一鳞半爪的破碎事实，就给观众灌输一种倾向或结论，这有违其应该严谨的职业道德。尽管如此，对于阎在百家讲坛风光无限的兜售着伪历史，我仍然冷眼旁观，既不会嫉妒，也不会去抗议。 阎挨了一个耳光，我一笑置之，民族主义者是善于表演的，这早已经领教了很多次，但没想到一个耳光竟被炒成了一次新闻事件，这着实令我困惑，就在几天前，中国接连发生了好几起事故，每次事故都有很多无辜的生命枉死，而背后都有权力腐败的阴影。对这样的事故，我们的媒体几乎没有关注，偶尔关注也只是简略的报道一个冰冷的事件、一组数据。没有争论、没有同情，而阎挨了一个耳光就有很多媒体人义愤填膺，谴责暴力并捍卫阎的言说权利，并且多数打着自由主义者的旗号，我不怀疑他们的真诚。但在我看来，对阎的捍卫显得夸张，也没有抓住事情的要害。这件事情的本质原因在于言说机会的失衡，是表达机会不平等造成的。设若能给反对他的人同样的机会，站在白家讲坛或其他的公开媒体论述自己的观点，甚至哪怕在阎讲课之后给反诘他的人一次公开的辩论机会，这样的事情都不会发生。但都没有，阎兜售着自己的伪历史，用高分贝发言权来诱导百姓的认知。却没人有机会和他同台PK，那积累的怨气如何消解？也许只有这戏剧化的耳光才能引起注意。 但掴耳光的人是否是民族主义者，大可商榷，也可能是精神病，也可能根本没有政治意味，纯粹想扇他露脸，这年头无动机犯罪多了，一个耳光又能代表什么？ 但我还是宁愿相信他是出于民族主义的动机。 关于民族主义，我曾在拙文《真伪民族主义之风雨如晦》一文中，区分过真假，并且作为一个自由主义知识分子，也天然对民族主义有着警惕，我们这几年不断上演的民族主义秀都是被煽动和挑拨起来的，它不是一个民族真正利益威胁的反应，而是被当作一种转移视线的手段。所以显得异常浅薄、幼稚，从而遭人鄙夷。如果一个人是基于自己的情感、价值观而行动，暂不考虑这种行动的利弊，至少显得真实。 有人称“民族主义是流氓最后的庇护所”，但也要区分看待民族主义者兴起的缘由。在此我不考虑假民族主义者，他们太善于表演了，太善于拿捏分寸了，比所有人都事故，事故的人总是流质善变而难以把握的。所以我只关注真正的民族主义者，个人认为这些人的兴起是一种被动的兴起，是一种应激反应似的崛起。 众所周知，当纳粹屠杀犹太人的时候，是把犹太人作为一个共同体看待的，没有考虑每个犹太人的性格、爱好甚至宗教信仰等，事实上当时很多犹太人已经皈依了基督教，很多犹太人攀附欧洲权贵，都想跻身上流社会，想必没有团结一致的想法，也不可能成立一种具一定威胁的共同体，恰恰相反，正是因为他们是一个个畸零的个人，才使得大屠杀得以顺利进行，而不加甄别的种族屠杀反过来也强化了民族意识，试想一个畸零的自由主义者面对整个变态的种族主义国家机器，这样的自由主义在面对屠杀时还有意义吗？这是受迫害者民族意识兴起的根本原因。 再比如在印尼、马来西亚，华人是在宪法层面上的二等公民，政府也没有考虑每个华人的特点，而是不加甄别，98年印尼大规模屠杀华人，也是种族的借口。如果在事实上的种族或民族歧视存在的情景下，又通过学者媒体来打压这种被动应激的民族主义，这又是否公平呢？现在的普通汉人在国内有没有被歧视的感觉，我不知道，只是知道，计生政策几乎就是针对汉人的，针对少数民族犯罪有“两少一宽”政策，某些民族挂上阿拉伯语的牌子可以横行无忌。我也知道，凡是宣扬汉族的传统文化就被扣上“大汉族主义”的帽子。一方面少数民族都有自己的历史观、自己心目中的民族英雄，事实上正在强化他们的民族认同，而另一方面，汉族的民族英雄不再被纪念，汉族的族群意识日益瓦解。每个人都知道这种针对某个民族的政策违反宪法人人平等的原则，每个民族都是由每个个体组成，而个体具有完全独立的价值，不依附一个民族而存在，因此这种基于民族的身份来剥夺个人权利的做法无疑是违宪的，但面对这种公开的民族歧视，个体的呼喊谁能听到？个体的悲剧谁能看到？ 所以，我不知道中国是否存在真正的汉民族主义，如果存在，我认为有其合理性。 回到阎崇年挨掴事件，我不赞成用这种暴力（其实是做秀）的方式来表达对阎的反感，但也能理解。暴力这个词现在不仅在官方是禁词，而且在知识分子眼里也遭到了讨伐，原因在于知识分子在对比英法两种发展路径时，发现保守的渐进的经验的英国保留了更多的自由，保存了更多的发展成果、民族宪政也更早得以建立，因此普遍对革命的暴力持否定态度，但知识分子却没有区分两点，第一点，能否有基本的平台可以非暴力的解决矛盾、达成妥协？第二点，革命性暴力与个体的局部的暴力之间的区别？ 最近济南的拆迁户强占了开发商的新房子，一时也传得沸沸扬扬。站在超然的立场上，这种对抗性的举动也非正道，应该寻求公力救济，但这种超然的立场没有一种切身的痛感，无法理解他们投诉无门的窘境。试想，一个人半夜里睡觉的时候，突然隆隆的推土机推倒了自己的房子，差点把自己掩埋在废墟之中，转眼之间没有了遮风挡雨的地方，想寻求司法救济，需要花钱，需要很长的时间才有结果，何况还有潜在的司法腐败。在生存的困境之下，这种行为尽管不值得推崇，但应予充分理解。这一事件就是典型的个体局部暴力，他不是基于一种宏大的理想信念，而仅仅是切身利益受损后，在公力救济存在种种弊端之下不得已之举。有时这种激化的矛盾反而能引起麻木的媒体和官员的重视，起到一种很好的效果。 一方面要求老百姓拥有圣人一样的道德，另一方面权力却像匪徒一样行事，这合理吗？当然想根源上解决这一问题，还是需要从制度上着手。 再回到阎崇年挨掴事件，凌沧州先生曾赋打油诗一首： 汉愤皆欲杀汉贼，吾意独怜老◎◎， 翻云覆雨殊不易，百年谎言强登台。 今日猛听耳光响，方知血性未死光。 诸公若不幡然悟，耳光耳光再耳光！ 尽管本人不赞成辱骂，辱骂也不是战斗，但辱骂至少是情绪的表露，是感情的倾向，我理解。我同样不赞成扇阎的耳光，不论其出于何种目的，但我也知道他已经为此付出代价，拘留15天，罚款千元，因此我也不会谴责。 我只是冷笑而已！ 2008年10月8日 April 27 sth from Crazy EnglishTo be successful, the first thing to do is fall in love with your work. No sweet without sweat. All things are difficult before they are easy. The shortest answer is doing. April 12 What do you want from Us?---- A Poem Dedicated to the last 150 years of this planet. By a Slient, Silent Chinese. When we were called "sick man of Asia”, you said that we were the yellow peril. When we closed our doors, you smuggled opium to open our markets. when we're falling apart, you marched in your troops and claimed your fair share. So we tried communism, you hated us for being communist. Then we have a billion people, you said we're destroying the planet. When we were poor, you think we're dogs, When we build our industries, you called us polluters. When we sell you goods, you blamed us for global warming, When we were lost in chaos and rampage, you wanted rules of laws for us. Why do you hate us so much? We asked. July 21 奥黛丽.赫本写给女儿的遗言若要有优美的嘴唇，要讲亲切的话，
若要有可爱的眼睛，要看到别人的好处，
若要有苗条的身材，把你的食物分给饥饿的人，
若要美丽的头发，让小孩子一天抚摩一次你的头发，
若要优雅的姿态，走路要记住行人不止你一个。
May 12 数学分支巡礼最早的数学——算术
算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算。 “算术”这个词，在我国古代是全部数学的统称。至于几何、代数等许多数学分支学 科的名称，都是后来很晚的时候才有的。 国外系统地整理前人数学知识的书，要算是希腊的欧几里得的《几何原本》最早。 《几何原本》全书共十五卷，后两卷时候人增补的。全书大部分是属于几何知识，在 第七、八、九卷中专门讨论了数的性质和运算，属于算术的内容。 现在拉丁文的“算术”这个词是由希腊文的“数和数(音属，sh?三音)数的技术”变化 而来的。“算”字在中国的古意也是“数”的意思，表示计算用的竹筹。中国古代的复 杂数字计算都要用算筹。所以“算术”包含当时的全部数学知识与计算技能，流传下 来的最古老的《九章算术》以及失传的许商《算术》和杜忠《算术》，就是讨论各种实际 的数学问题的求解方法。 关于算数的产生，还是要从数谈起。数是用来表达、讨论数量问题的，有不同类型 的量，也就随着产生了各种不同类型的数。远在古代发展的最初阶段，由于人类日 常生活与生产实践中的需要，在文化发展的最初阶段就产生了最简单的自然数的概念。 自然数的一个特点就是由不可分割的个体组成。比如说树和羊这两种事物，如果说 两棵树，就是一棵再一颗；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能说有半 棵树或者半只羊，半棵树或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作 树和羊。 不过，自然数不足以解决生活和生产中常见的分份问题，因此数的概念产生了第一 次扩张。分数是对另一种类型的量的分割而产生的。比如，长度就是一种可以无限 地分割的量，要表示这些量，就只有用分数。 从已有的文献可知，人类认识自然数和分数的历史是很久的。比如约公元前2000年 流传下来的古埃及莱茵德纸草书，就记载有关于分数的计算方法；中国殷代遗留下 来的甲骨文中也有很多自然数，最大的数字是三万，并且全部是应用十进位制的位 置计数法。 自然数和分数具有不同的性质，数和数之间也有不同的关系，为了计算这些数,就 产生了加、减、乘、除的方法，这四种方法就是四则运算。 把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整 理，就形成了最古老的一门数学——算术。 在算术的发展过程中，由于实践和理论上的要求，提出了许多新问题，在解决这些 新问题的过程中，古算术从两个方面得到了进一步的发展。 一方面在研究自然数四则运算中，发现只有除法比较复杂，有的能除尽，有的除不 尽，有的数可以分解，有的数不能分解，有些数又大于１的公约数，有些数没有大 于１的公约数。为了寻求这些数的规律，从而发展成为专门研究数的性质、脱离了 古算术而独立的一个数学分支，叫做整数论，或叫做初等数论，并在以后又有新的 发展。 另一方面，在古算术中讨论各种类型的应用问题，以及对这些问题的各种解 法。在长期的研究中，很自然地就会启发人们寻求解这些应用问题的一般方法。也 就是说，能不能找到一般的更为普遍适用的方法来解决同样类型的应用问题，于是 发明了抽象的数学符号，从而发展成为数学的另一个古老的分支，指就是初等代数。 数学发展到现在，算术 已不再是数学的一个分支，现在我们通常提到的算 术，只是作为小学里的一个教学科目，目的是使学生理解和掌握有关数量关系和空 间形式的最基础的知识，能够正确、迅速地进行整数、小数、分数的四则运算，初 步了解现代数学中的一些最简单的思想，具有初步的逻辑思维能力和空间观念。 现代小学数学的具体内容，基本上还是古代算术的知识，也就是说，古代算术和现 代算术的许多内容上是相同的。不过现代算术和古代算术也还存在着区别。 首先，算术的内容是古代的成人包括数学家所研究的对象，现在这些内容已变成了 少年儿童的数学。 其次，在现代小学数学里，总结了长期以来所归结出来的基本运算性质，就是加 法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律，这五条基本运算定律，不 仅是小学数学里所学习的数运算的重要性质，也是整个数学里，特别是代数学里着 重研究的主要性质。 第三，在现代的小学数学里，还孕育着近代数学里的集合和函数等数学基础概念的 思想。比如，和、差、积、商的变化，数和数之间的对应关系，以及比和比例等。 另外，现在小学数学里，还包含有十六世纪才出现的十进小数和它们的四则运算。 应当提出的是十进小数不是一种新的数，而可以被看作是一种分母是10的方幂的分 数的另一种写法。 我们在这里把算术列成第一个分支，主要是想强调在古代全部数学就叫做算 术，现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的。后来，算学、数学的概念 出现了，它代替了算术的含义，包括了全部数学，算术就变成了一个分支了。因 此，也可以说算术是最古老的分支。 高等代数 初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程 组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发 展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数 更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高 等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与 通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相 类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向 量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。 向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇 不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国 在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉 古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部 书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那 时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方 程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区 的数学家卡尔达诺(1501～1576)骗到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的 著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它 应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解 出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。 遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多 世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以 上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、 除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没 有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。 后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽 罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两 次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。 伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把 自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中 说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数 的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性 发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。” 伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手 稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。 随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然 十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解 决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概 念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直 接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转 向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著 作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。 高等代数的基本内容 代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科 目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩 阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法 或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以 概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如 群、环、域等。 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方 程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于 探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上 和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数 方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代 数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 生活中的几何——欧式几何 几何学发展简况 “几何”这个词在汉语里是“多少？”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不同 了。“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术。 几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。在远古 时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、 窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟 数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。 正是生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。虽然这 些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学就是建立在这些零散、经验 性的、粗浅的几何知识之上的。 几何学史数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。古 代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地。大量出土 文物证明，在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看一看远古 时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但 是讲究体积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。 几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。两千 多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何 就是最感兴趣的内容，在这里应当提及的是哲学家、几何学家柏拉图和哲学家亚里 士多德对发展几何学的贡献。 柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋 向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑 推理的方法对几何中的一些命题作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人， 他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大的。到 今天，在初等几何学中，仍是运用三段论的形式来进行推理。 但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立 的、不系统的。真正把几何总结成一门具有比较严密理论的学科的，是希腊杰出的 数学家欧几里得。 欧几里得在公元前300年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良 敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当 时所能知道的一切几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方 法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》。 《几何原本》的伟大历史意义在于它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。 在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设除法、运用逻辑推理的方法展 开和叙述的。也就是说，从《几何原本》发表开始，几何才真正成为了一个有着比较 严密的理论系统和科学方法的学科。 欧几里得的《几何原本》 欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和 角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲 如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第 六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里 论；最后讲述立体几何的内容。 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在 《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知 识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学， 或简称为欧式几何。 《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主 要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。《几何原本》第一卷列有23 个定义，5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做 第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论， 并最终诞生了非欧几何。） 这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。全书以这些定义、公理、公设 为依据逻辑地展开他的各个部分的。比如后面出现的每一个定理都写明什么是已 知、什么是求证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。 关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是 先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合 法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的 假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已 知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。 欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。它标志着几何学 已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月 异，但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。 由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期 的实践中表明，它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知 有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。 少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书 的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很 感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到 落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用 功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从 头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。 近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开 创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在 十二岁的时候“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。后 来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。他多次提出在物理学研 究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中， 爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速 不变原理。 在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归 结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原 本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。 但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解 决。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没 有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上 是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起 什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》 中从未提到过这个概念。 现代几何公理体系 人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何 学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他 1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公 理体系就被叫做希尔伯特公理体。 希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原 则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑 如下三个方面的问题： 第一，共存性(和谐性)，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们 和谐而共存在同一系统中。 第二，独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公 理是可以从其它公理引伸出来的。 第三，完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。 这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所 谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。 公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本 对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之 间的关系、性质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事 物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这 些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。 因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只 有—个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者 叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不 是必须的，它不过是一种直观形象而已。 就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这 些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。 坐标法——解析几何 解析几何的产生 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学 提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运 行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着 抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的 一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。 1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有 三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几 何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷 是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数 学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。 从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学， 把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把 任何代数问题归结到去解一个方程式。 为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和 实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可 以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点 的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一 条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法 不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要 概念密切联系了起来。 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用 两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置 可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。 在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创 建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。 费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有 重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中 知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有 了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的 通信中公开发表。 笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了 新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。 解析几何的基本内容 在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向 和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内 的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标 系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。 坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空 间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几 何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何 学的各个分支的研究也是十分重要的。 解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进 入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动 作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运 动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成 为必要的了，……” 解析几何的应用 解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。 在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线 （圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。 在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转 曲面。 椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机 的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照 灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原 理制成的。 总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的 轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲 线性质。 运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何 条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性 质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。 坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的 难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也 提供了有力的工具。 微分几何 微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质，换句话 说，微分几何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的性质的数学分支学科。 微分几何的产生 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是 瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧 长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。 十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于 1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。 在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发 展的因素。 1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大 的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之 后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几 何学，其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上 曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总 曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换 群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几 何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共 形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来 1906年起 经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首 的意大利学派所发展。 随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学 和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独 立学科。 微分几何学的基本内容 微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线 长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的 有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何 中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一 点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地 线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还 要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。 在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的 方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化” 成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷 小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些 都是微分几何特有的研究方法。 近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同 黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几 何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方 面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。 代数几何学 几何空间 空间的概念复我们来说是熟悉的。我们生活的空间是包含在上下、前后、左右之中 的。如果需要描述我们所处的空间中的某一位置，就需要用三个方向来表示，这个 意思也就是说空间是“三维”的。 在数学中经常用到“空间”这个概念，它指的范围很广，一般指某种对象（现象、状 况、图形、函数等）的任意集合，只要其中说明了“距离”或“邻域”的概念就可以 了。而所谓“维”的概念，如果我们所谈到的只是简单的几何图形，如点、线、三角 形和多边形……，那么理解维的概念并不困难：点的维数是零；一条线段的维数是 一；一个三角形的维数是二；一个立方体内所有点的集合的是三维的。 如果把维度的概念扩充到任意点集合上去的时候，维的概念就不那么容易理解了。 比如，什么是四维空间呢？关于四维空间，我国古代有一些说法是很有意思的。最 典型的就是对于“宇宙”两字的解释，古人的说法是“四方上下曰宇，古往今来曰 宙”，用现在的话说就是，四维空间是在三维空间的基础上再加上时间维作为并列 的第四个坐标。 爱因斯坦认为每一瞬间三维空间中的所有实物在占有一定的位置就是四维的。比如 我们所住的房子，就是由长度、宽度、高度、和时间制约的。所谓时间制约就是从 盖房的时候算起，直到最后房子倒塌为止。 根据上边的说法，几何学和其它科学研究的 n维空间的概念，就可以理解成由空间 的点的 n个坐标决定。这个空间的图形就定义成满足这个或那个条件的点的轨迹。 一般来说，某个图形由 n个条件给出，那么这个图形就是某个 n维的点。至于这个 图形到底是什么形象，我们是否能想象得出来，对数学来说是无关紧要的。 几何学中的“维”的概念，实际上就是构成空间的基本元素，也就是点的活动的自由 度，或者说是点的坐标。所谓 n维空间，经常是用来表示超出通常的几何直观范围 的数学概念的一种几何语言。 从上面的介绍可以看出，几何中的元素可用代数中的是数来表示，代数问题如果通 过几何的语言给与直观的描述，有时候可以给代数问题提示适当的解法。比如解三 元一次方程组，就可以认为是求解三个平面的交点问题。 代数几何学的内容 用代数的方法研究几何的思想，在继出现解析几何之后，又发展为几何学的另一个 分支，这就是代数几何。代数几何学研究的对象是平面的代数曲线、空间的代数曲 线和代数曲面。 代数几何学的兴起，主要是源于求解一般的多项式方程组，开展了由这种方程组的 解答所构成的空间，也就是所谓代数簇的研究。解析几何学的出发点是引进了坐标 系来表示点的位置，同样，对于任何一种代数簇也可以引进坐标，因此，坐标法就 成为研究代数几何学的一个有力的工具。 代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的。例 如，阿贝尔在关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函数的双周期性，从而奠定了椭 圆曲线理论基础。 黎曼1857年引入并发展了代数函数论，从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的 突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎 曼曲面的概念。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量： 亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。 在黎曼之后，德国数学家诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。 诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后意大利学派的工作建立了基础。 从19世纪末开始，出现了以卡斯特尔诺沃、恩里奎斯和塞维里为代表的意大利学派 以及以庞加莱、皮卡和莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇 的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论 之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基 础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。 20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20 世纪30年代，扎里斯基和范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的 方法。在此基础上，韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何 理论，然后20世纪50年代中期，法国数学家塞尔把代数簇的理论建立在层的概念 上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基 础。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。 代数几何学中要证明的定理多半是纯几何的，在论证中虽然使用坐标法，但是采用 坐标法多建立在射影坐标系的基础上。 在解析几何中，主要是研究一次曲线和曲面、二次曲线和曲面。而在代数几何中主 要是研究三次、四次的曲线和曲面以及它们的分类，继而过渡到研究任意的代数流形。 代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系，如数论、解析几何、微分几何、 交换代数、代数群、拓扑学等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的 作用。同时，作为一门理论学科，代数几何的应用前景也开始受到人们的注意，其 中的一个显著的例子是代数几何在控制论中的应用。 近年来，人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中已广泛应用代数几何工具，这预 示着抽象的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。 微积分学 微积分学是微分学和积分学的总称。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学 中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分 支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的 地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 微积分学的建立 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已 经产生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺 线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学 基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄 子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽 在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周 和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因 素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现 的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是 求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围 成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大 量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里 士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分 的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨 分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的 工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题 （微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为 无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着 重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里 指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷 小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛 顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微 分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早 的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的 新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这 样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本 微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符 号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有 极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题， 运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努 力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也 是这样。 不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者 的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期 对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数 术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。 比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分 这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短 处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和 莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不 一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱 布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。 直到１９世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真 研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使 极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历 史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧 拉、法国的拉格朗日、科西…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正 的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解 决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功 伟绩。 微积分的基本内容 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学 分析。 本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已 习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分 析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有 引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发 展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学 等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广 泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 实变函数论 实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟 了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部 门，也就是数学分析。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。比如，什么 是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至 长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正 确的。又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰 的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国 数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维 尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。 由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发 现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现 了连续但是不分段单调的函数等等。这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数， 仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函 数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可 积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么 样的？…… 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这 就是实变函数。 实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫 做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论 呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集 论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序 列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、 结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这 里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根 到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这 个概念叫做测度。 什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函 数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的 概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它 叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒 贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》 中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就 完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由 推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出 后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更 为广泛的函数类。 自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认 清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。这 样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A 类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以 由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼 近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论 相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这 种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的 一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及 它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支 有着极为重要的影响。 常微分方程 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方 程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程 组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列 出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在 一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自 由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要 寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要 去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简 单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题 中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方 程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解 的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导 数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时 候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用 级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝 尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密 切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常 微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及 理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了 行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各 自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识 自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本 规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命 力的数学分支。 常微分方程的内容 如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方 程，也可以简单地叫做微分方程。 一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有 任意常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函 数族。 如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做 定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程 可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。 常微分方程的特点 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、 解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下， 以了解常微分方程的特点。 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中 得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便 于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某 种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点 转移到定解问题上来。 一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基 本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有 解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确 定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。 大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解 的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由 试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以 解决。 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置 的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研 究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应 该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远 不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 概率和数理统计 从随机现象说起 在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联 系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类 是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来 说，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是 属于必然性的。通常的自然科学各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这 类必然现象的因果关系，把握它们之间的数量规律。 另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例 来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点 差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各棵种子的发芽情况 也不尽相同，有强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确 定的结果呢？这是因为，我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些 主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。 正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结 果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现 象，或者叫做随机现象。 在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在 的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是 随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调 查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。 随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。 随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如 果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机 现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币， 每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越 清楚的发现它们朝上的次数大体相同。 我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率 论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。 概率论的产生和发展 概率论产生于十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的 请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。 早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问 题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中 一个人赢了 a (a 三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯 企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率 论著作。 近几十年来，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各 学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以 概率论作为基础的。 概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指 出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。 概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性 作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些 可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。 数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一 定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件 以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以 相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。 统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的 理论根据、数学论证。 应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的主要不同点有： 第一，由于随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能 呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但 是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理的，这些定 义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，但这些定义、公理、定理是确定的， 不存在任何随机性。 第二，在研究概率统计中，使用的是“由部分推断全体”的统计推断方法。这是因为 它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不 必要全部进行。但是由这一部分资料所得出的一些结论，要全体范围内推断这些结 论的可靠性。 第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于 每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一 现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律。 概率论的内容 概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性 和更深层次上的规律性。 概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全 部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可 以认为这个事件发生的概率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。 有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结 果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。 在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果 用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。 随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和 非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫 做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种 随机变量就叫做非离散型随机变量。 在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机 变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分 布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变 量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度 也就是标准方差。 数理统计的内容 数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验 是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问 题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分 析判断的理论。 适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线， 从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出 的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适 线问题的讨论范围。 假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果 在一定可靠程度上对原假设做出判断。 方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。 由于随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随着现代工农业、近代科技 的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过程、信息论、极限理 论、试验设计、多元分析等。 数理逻辑 逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建 的。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号 逻辑。 数理逻辑的产生 利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人 提出过。莱布尼茨就曾经射向果能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过 程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。由于当时的社会条件， 他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意 义上讲，莱布尼茨的思想可以说是数理逻辑的先驱。 1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一 套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔建立了一系列的运算法则， 利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。 十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格 出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加 完备。对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑 符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。 数理逻辑的内容 数理逻辑包括哪些内容呢？这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部 分，就是“命题演算”和“谓词演算”。 命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理 的方法。命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。 如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连 接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复 和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。 这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。例如满 足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄 摩根定律、三段论定律等等。利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复 和命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同 等等。 命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算 是逻辑加、逻辑乘和逻辑费，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只 有两个数 0和 1，相当于命题演算中的“真”和“假”。 逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截至等现 象完全一样，都只有两种不同的状态，因此，它在电路分析中得到广泛的应用。 利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑成和逻辑非的门电路，就是逻辑元件。 还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络，这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑 元件经过适当的组合来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能。因此，在自动 控制方面有重要的应用。 谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词 和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命 题之间的逻辑推理关系。 命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。常项是指一些确定的对 象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的 变域。命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假。如果以一定的对象概念代替变 项，那么命题涵项就成为真的或假的命题了。 命题涵项加上全程量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特称命题了。 数理逻辑的发展 数理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速，促进它发展的因素也是多方面的。比 如，非欧几何的建立，促进人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性，就促进了 数理逻辑的发展。 集合论的产生是近代数学发展的重大事件，但是在集合论的研究过程中，出现了一 次称作数学史上的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的悖论引起。什么 是悖论呢？悖论就是逻辑矛盾。集合论本来是论证很严格的一个分支，被公认为是 数学的基础。 1903年，英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家罗素却对集合论提出了以他名字 命名的“罗素悖论”，这个悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。 罗素悖论中有许多例子，其中一个很通俗也很有名的例子就是“理发师悖论”：某乡 村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。那么就产生了一 个问题：理发师究竟给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子 的人，按照他的原则，他又不该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就 是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。 悖论的提出，促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题，从而产生了数理逻辑 的一个重要分支—公理集合论。 非欧几何的产生和集合论的悖论的发现，说明数学本身还存在许多问题，为了研究 数学系统的无矛盾性问题，需要以数学理论体系的概念、命题、证明等作为研究对 象，研究数学系统的逻辑结构和证明的规律，这样又产生了数理逻辑的另一个分支 —证明论。 数理逻辑新近还发展了许多新的分支，如递归论、模型论等。第归论主要研究可计 算性的理论，他和计算机的发展和应用有密切的关系。模型论主要是研究形式系统 和数学模型之间的关系。 数理逻辑近年来发展特别迅速，主要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、 数论、代数、拓扑学等的发展有重大的影响，特别是对新近形成的计算机科学的发 展起了推动作用。反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。 正因为它是以门新近兴起而又发展很快的学科，所以它本身也存在许多问题有待于 深入研究。现在许多数学家正针对数理逻辑本身的问题，进行研究解决。 总之，这门学科的重要性已经十分明显，他已经引起了更多人的关心和重视。 模糊数学 二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。 模糊数学的产生 现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数 学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过 说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对 象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表 现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都 一可能纳入集合描述的数学框架。 但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明 确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素 对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和 事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。 在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显 著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但 是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。 各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性 的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学 的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处 理模糊性。 当我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航 天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复 杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而 造成判断的不确定性。 在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的 词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。 在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经 炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢 水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还 需要模糊数学。 人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊 现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力， 就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑 那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这 样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模 糊数学。所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。 模糊数学的研究内容 1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这 门学科的诞生。 模糊数学的研究内容主要有以下三个方面： 第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。察德以精确数 学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集 合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律， 开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能 够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。 在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况， 而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是 个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人， 它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半 老”，60岁属于“老”的程度0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定 了一个集合。 当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。 第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊 语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。 为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼 成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运用数学方 法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量 化、形式化。 如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误， 但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正 确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换 规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。 人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，既非真 既假，然后进行判断和推理，得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上 的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物 和概念的不确定性或模糊性的能力。 为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础 上，研究模糊逻辑。目前，模糊罗基还很不成熟，尚需继续研究。 第三，研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊 集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找 到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数 学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。在模糊 数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模 糊逻辑学等分支。 模糊数学的应用 模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、 模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、 结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用 领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。 目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山 川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国 汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机，它的推理 速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。 模糊数学还远没有成熟，对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检验。 数学物理学 数学物理学是以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数 学模型，即寻求物理现象的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解 法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。 物理问题的研究一直和数学密切相关。作为近代物理学始点的牛顿力学中，质点和 刚体的运动用常微分方程来刻画，求解这些方程就成为牛顿力学中的重要数学问 题。这种研究一直持续到今天。例如，天体力学中的三体问题和各种经典的动力系 统都是长期研究的对象。 在十八世纪中，牛顿力学的基础开始由变分原理所刻画，这又促进了变分法的发 展，并且到后来，许多物理理论都以变分原理作为自己的基础。 十八世纪以来，在连续介质力学、传热学和电磁场理论中，归结出许多偏微分方程 通称数学物理方程(也包括有物理意义的积分方程、微分积分方程和常微分方程)。 直到二十世纪初期，数学物理方程的研究才成为数学物理的主要内容。 此后，联系于等离子体物理、 固体物理、 非线性光学、空间技术核技术等方面的 需要，又有许多新的偏微分方程问题出现，例如孤立子波、间断解、分歧解、反问 题等等。它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来。复变函数、积分变换、特殊 函数、变分法、调和分析、泛函分析以至于微分几何、代数几何都已是研究数学物 理方程的有效工具。 从二十世纪开始，由于物理学内容的更新，数学物理也有了新的面貌。伴随着对电 磁理论和引力场的深入研究，人们的时空观念发生了根本的变化，这使得闵科夫斯 基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理 论。许多物理量以向量、张量和旋量作为表达形式在探讨大范围时空结构时，还需 要整体微分几何。 量子力学和量子场论的产生，使数学物理添加了非常丰富的内容。在量子力学中物 质的态用波函数刻画，物理量成为算子，测量到的物理量是算子的谱。在量子场论 中波函数又被二次量子化成为算子，在电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用中 描述粒子的产生和消灭。 因此，必须研究各种函数空间的算子谱、函数的谱分析和由算子所形成的代数。同 时还要研究微扰展开和重正化(处理发散困难)的数学基础。此外，用非微扰方法研 究非线性场论也是一个令人注目的课题。 物理对象中揭示出的多种多样的对称性，使得群论显得非常有用。晶体的结构就是 由欧几里得空间运动群的若干子群给出。正交群和洛伦茨群的各种表示对讨论具有 时空对称性的许多物理问题有很重要的作用。 基本粒子之间，也有种种对称性，可以按群论明确它们的某些关系。对基本粒子的 内在对称性的研究更导致了杨-米尔斯理论的产生。它在粒子物理学中意义重大， 统一了弱相互作用和电磁相互作用的理论，提供了研究强子结构的工具。这个理论 以规范势为出发点，而它就是数学家所研究的纤维丛上的联络(这是现代微分几何 学中非常重要的一个概念)。有关纤维丛的拓扑不变量也开始对物理学发挥作用。 微观的物理对象往往有随机性。在经典的统计物理学中需要对各种随机过程的统计 规律有深入的研究。 随着电子计算机的发展，数学物理中的许多问题可以通过数值计算来解决，由此发 展起来的“计算力学”“计算物理”都发挥着越来越大的作用。计算机直接模拟物理模 型也成为重要的方法。此外各种渐近方法也继续获得发展。 科学的发展表明，数学物理的内容将越来越丰富，解决物理问题的能力也越来越 强。其他各门科学，如化学生物学、地学、经济学等也广泛地利用数学模型来进行 研究。数学物理中的许多方法和结果对这些研究发挥了很好的作用。 在工程科学中，处处需要精确地求解物理问题，所以数学物理对于技术进步也有非 常重要的意义。此外，数学物理的研究对数学有很大的促进作用。它是产生数学的 新思想、新对象、新问题以及新方法的一个源泉。 数学中的皇冠——数论 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进 一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负 整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘 法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以 上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之 间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分 为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质， 可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今 来许多的数学家不断地研究和探索。 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发 展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。 数论的发展简况 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研 究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一 的学科。 自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、 勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数 论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍 数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质 的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数 的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的 关注。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把 它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前 人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学 院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了 现代数论的新纪元。 在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定 理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的 方法。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部 叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的 概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学 家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因 此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式， 也就是说行列式代表着一个数。 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了 矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数 的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中 的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一 系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数 学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这 些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律， 有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学 中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。 群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数 学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等代数与其他学科的关系 代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发 展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？ 首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关 于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现 实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对 现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基 本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多 次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。 其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代 数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学 的许多分支，成为众多学科的共同基础。 April 21 线性代数简史（摘自百度网页）线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是 “ 解行列式问题的方法 ” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家， 微积分学奠基人之一 莱布 尼 兹 （ Leibnitz ， 1693 年） 。 1750 年 克莱姆（ Cramer ） 在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）。 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。 德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家 柯西 (Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为 0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯（ Gauss ） 大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。 数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论， 数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 书中提出的。 (1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵，或简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物理学家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的。 矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。 由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。 March 03 关于数学的一些观点和言论伽利略：“大自然这本书是用数学这种语言写成的。”
温伯格说：“人类对其自身之外事物的研究，包括对复杂性的研究，只有其中的简单性才能引起人们的兴趣”。而数学是描述自然界中隐藏的简单性的有力手段。
著名数学家柯朗（Courant,1888-1972）在其名著《数学是什么》（1941）第一版的序言中就已指出“数学的教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练，固然，这可以发展形式演算的能力，但却无助于对数学的真正理解，无助于提高思考的能力。数学的研究，有过度专门化和过度抽象化的倾向，忽视了应用以及与其他领域之间的联系。这种状况……必然激起强烈的反感。”
数学是西方文化中的一种主要的文化力量。 February 25 贯穿一生的七个忠告1、 断箭
不相信自己的意志，永远也做不成将军。
春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战。父亲已做了将军，儿子还只是马前卒。又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，其中插着一只箭。父亲郑重对儿子说：“这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来。” 那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾。一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作。儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的主帅应声折马而毙。 果然，配带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡。当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟。骤然间他惊呆了。 一只断箭，箭囊里装着一只折断的箭。 我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了。 结果不言自明，儿子惨死于乱军之中。 拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道：“不相信自己的意志，永远也做不成将军。” 把胜败寄托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比如把希望寄托在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上…… 温馨提示：自己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救它的都只能是自己。
2、生命的价值 不要让昨日的沮丧令明天的梦想黯然失色！
在一次讨论会上，一位著名的演说家没讲一句开场白，手里却高举着一张20美元的钞票。面对会议室里的200个人，他问：“谁要这20美元？”一只只手举了起来。他接着说：“我打算把这20美元送给你们中的一位，但在这之前，请准许我做一件事。”他说着将钞票揉成一团，然后问：“谁还要？”仍有人举起手来。 他又说：“那么，假如我这样做又会怎么样呢？”他把钞票扔到地上，又踏上一只脚，并且用脚碾它。尔后他拾起钞票，钞票已变得又脏又皱。 “现在谁还要？”还是有人举起手来。 “朋友们，你们已经上了一堂很有意义的课。无论我如何对待那张钞票，你们还是想要它，因为它并没贬值，它依旧值20美元。人生路上，我们会无数次被自己的决定或碰到的逆境击倒、欺凌甚至碾得粉身碎骨。我们觉得自己似乎一文不值。但无论发生什么，或将要发生什么，在上帝的眼中，你们永远不会丧失价值。在他看来，肮脏或洁净，衣着齐整或不齐整，你们依然是无价之宝。” 温馨提示：生命的价值不依赖我们的所作所为，也不仰仗我们结交的人物，而是取决于我们本身！我们是独特的——永远不要忘记这一点！
3、昂起头来真美 别看它是一条黑母牛，牛奶一样是白的。
珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮。有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不由昂起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意。 珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，“珍妮，你昂起头来真美！”老师爱抚地拍拍她的肩说。 那一天，她得到了许多人的赞美。她想一定是蝴蝶结的功劳，可往镜前一照，头上根本就没有蝴蝶结，一定是出饰物店时与人一碰弄丢了。 自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐。 温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌若天仙，还是相貌平平，只要你昂起头来，快乐会使你变得可爱——人人都喜欢的那种可爱。
4、为生命画一片树叶 只要心存相信，总有奇迹发生，希望虽然渺茫，但它永存人世。
美国作家欧;亨利在他的小说《最后一片叶子》里讲了个故事：病房里，一个生命垂危的病人从房间里看见窗外的一棵树，在秋风中一片片地掉落下来。病人望着眼前的萧萧落叶，身体也随之每况愈下，一天不如一天。她说：“当树叶全部掉光时，我也就要死了。”一位老画家得知后，用彩笔画了一片叶脉青翠的树叶挂在树枝上。 最后一片叶子始终没掉下来。只因为生命中的这片绿，病人竟奇迹般地活了下来。 温馨提示：人生可以没有很多东西，却唯独不能没有希望。希望是人类生活的一项重要的价值。有希望之处，生命就生生不息！
5、飞翔的蜘蛛 信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。
一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。 温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。
6、阴影是条纸龙 人生中，经常有无数来自外部的打击，但这些打击究竟会对你产生怎样的影响，最终决定权在你手中。
祖父用纸给我做过一条长龙。长龙腹腔的空隙仅仅只能容纳几只蝗虫，投放进去，它们都在里面死了，无一幸免！祖父说：“蝗虫性子太躁，除了挣扎，它们没想过用嘴巴去咬破长龙，也不知道一直向前可以从另一端爬出来。因而，尽管它有铁钳般的嘴壳和锯齿一般的大腿，也无济于事。”当祖父把几只同样大小的青虫从龙头放进去，然后关上龙头，奇迹出现了：仅仅几分钟，小青虫们就一一地从龙尾爬了出来。 温馨提示：命运一直藏匿在我们的思想里。许多人走不出人生各个不同阶段或大或小的阴影，并非因为他们天生的个人条件比别人要差多远，而是因为他们没有思想要将阴影纸龙咬破，也没有耐心慢慢地找准一个方向，一步步地向前，直到眼前出现新的洞天。
7、成功并不像你想像的那么难 并不是因为事情难我们不敢做，而是因为我们不敢做事情才难的。
1965年，一位韩国学生到剑桥大学主修心理学。在喝下午茶的时候，他常到学校的咖啡厅或茶座听一些成功人士聊天。这些成功人士包括诺贝尔奖获得者，某一些领域的学术权威和一些创造了经济神话的人，这些人幽默风趣，举重若轻，把自己的成功都看得非常自然和顺理成章。时间长了，他发现，在国内时，他被一些成功人士欺骗了。那些人为了让正在创业的人知难而退，普遍把自己的创业艰辛夸大了，也就是说，他们在用自己的成功经历吓唬那些还没有取得成功的人。 作为心理系的学生，他认为很有必要对韩国成功人士的心态加以研究。1970年，他把《成功并不像你想像的那么难》作为毕业论文，提交给现代经济心理学的创始人威尔;布雷登教授。布雷登教授读后，大为惊喜，他认为这是个新发现，这种现象虽然在东方甚至在世界各地普遍存在，但此前还没有一个人大胆地提出来并加以研究。惊喜之余，他写信给他的剑桥校友--当时正坐在韩国政坛第一把交椅上的人--朴正熙。他在信中说，“我不敢说这部著作对你有多大的帮助，但我敢肯定它比你的任何一个政令都能产生震动。” 后来这本书果然伴随着韩国的经济起飞了。这本书鼓舞了许多人，因为他们从一个新的角度告诉人们，成功与“劳其筋骨，饿其体肤”、“三更灯火五更鸡”、“头悬梁，锥刺股”没有必然的联系。只要你对某一事业感兴趣，长久地坚持下去就会成功，因为上帝赋予你的时间和智慧够你圆满做完一件事情。后来，这位青年也获得了成功，他成了韩国泛业汽车公司的总裁。 温馨提示：人世中的许多事，只要想做，都能做到，该克服的困难，也都能克服，用不着什么钢铁般的意志，更用不着什么技巧或谋略。只要一个人还在朴实而饶有兴趣地生活着，他终究会发现，造物主对世事的安排，都是水到渠成的 。 February 23 猫和老鼠----发人深省的一个笑话猫生病了，老鼠大声朗诵诗集，并修剪盆花； 猫生病了，老鼠慢慢刷牙洗脸，并打扫房间； 猫生病了，老鼠倚窗欣赏夜色，并对流星许愿； 猫生病了，老鼠也病了，它说：“我还是习惯那种时时紧张、处处小心、夜夜逃亡的生活。” 午夜，我听到老鼠在叹息，且不再读诗了……（好诗意的发人深省~） February 18 英语谚语500句A bad beginning makes a bad ending. 不善始者不善终。 A bad thing never dies. 遗臭万年。 A bad workman always blames his tools. 不会撑船怪河弯。 A bird in the hand is worth than two in the bush. 一鸟在手胜过双鸟在林。 A boaster and a liar are cousins-german. 吹牛与说谎本是同宗。 A bully is always a coward. 色厉内荏。 A burden of one's choice is not felt. 爱挑的担子不嫌重。 A candle lights others and consumes itself. 蜡烛照亮别人，却毁灭了自己。 A cat has 9 lives. 猫有九条命。 A cat may look at a king. 猫也可以打量国王，意为人人平等。 A close mouth catches no flies. 病从口入。 A constant guest is never welcome. 常客令人厌。 Actions speak louder than words. 事实胜于雄辩。 Adversity leads to prosperity. 穷则思变。 Adversity makes a man wise, not rich. 逆境出人才。 A fair death honors the whole life. 死得其所，流芳百世。 A faithful friend is hard to find. 知音难觅。 A fall into a pit, a gain in your wit. 吃一堑，长一智。 A fox may grow gray, but never good. 江山易改，本性难移。 A friend in need is a friend indeed. 患难见真情。 A friend is easier lost than found. 得朋友难，失朋友易。 A friend is never known till a man has need. 需要之时方知友。 A friend without faults will never be found. 没有十全十美的朋友。 'After you' is good manners. “您先请”是礼貌。 A good beginning is half done. 良好的开端是成功的一半。 A good beginning makes a good ending. 善始者善终。 A good book is a good friend. 好书如挚友。 A good book is the best of friends, the same today and forever. 一本好书，相伴一生。 A good conscience is a soft pillow. 不做亏心事，不怕鬼叫门。 A good fame is better than a good face. 美名胜过美貌。 A good husband makes a good wife. 夫善则妻贤。 A good medicine tastes bitter. 良药苦口。 A good wife health is a man's best wealth. 妻贤身体好是男人最大的财富。 A great talker is a great liar. 说大话者多谎言。 A hedge between keeps friendship green. 君子之交淡如水。 A joke never gains an enemy but loses a friend. 戏谑不能化敌为友，只能使人失去朋友。 A leopard cannot change its spots. 积习难改。 A liar is not believed when he speaks the truth. 说谎者即使讲真话也没人相信。 A light heart lives long. 静以修身。 A little body often harbors a great soul. 浓缩的都是精品。 A little knowledge is a dangerous thing. 一知半解，自欺欺人。 A little pot is soon hot. 狗肚子盛不得四两油。 All are brave when the enemy flies. 敌人逃窜时，人人都成了勇士。 All good things come to an end. 天下没有不散的筵席。 All rivers run into sea. 海纳百川。 All roads lead to Rome. 条条大路通罗马。 All that ends well is well. 结果好，就一切都好。 All that glitters is not gold. 闪光的不一定都是金子。 All things are difficult before they are easy. 凡事总是由难而易。 All work and no play makes Jack a dull boy. 只会用功不玩耍，聪明孩子也变傻。 A man becomes learned by asking questions. 不耻下问才能有学问。 A man can do no more than he can. 凡事都应量力而行。 A man cannot spin and reel at the same time. 一心不能二用。 A man is known by his friends. 什么人交什么朋友。 A man of words and not of deeds is like a garden full of weeds. 光说空话不做事，犹如花园光长刺。 A man without money is no man at all. 一分钱难倒英雄汉。 A merry heart goes all the way. 心旷神怡，事事顺利。 A miss is as good as a mile. 失之毫厘，差之千里。 A mother's love never changes. 母爱永恒。 An apple a day keeps the doctor away. 一天一苹果，不用请医生。 A new broom sweeps clean. 新官上任三把火。 An eye for an eye and a tooth for a tooth. 以眼还眼，以牙还牙。 An hour in the morning is worth two in the evening. 一日之计在于晨。 An old dog cannot learn new tricks. 老狗学不出新把戏。 An ounce of luck is better than a pound of wisdom. 聪明才智，不如运气。 An ounce of prevention is worth a pound of cure. 预防为主，治疗为辅。 A rolling stone gathers no moss. 滚石不生苔，转业不聚财。 As a man sows, so he shall reap. 种瓜得瓜，种豆得豆。 A single flower does not make a spring. 一花独放不是春，百花齐放春满园。 A snow year, a rich year. 瑞雪兆丰年。 A sound mind in a sound body. 健全的精神寓于健康的身体。 A still tongue makes a wise head. 寡言者智。 A stitch in time saves nine. 小洞不补，大洞吃苦。 A straight foot is not afraid of a crooked shoe. 身正不怕影子斜。 A wise head makes a close mouth. 真人不露相，露相非真人。 A word spoken is past recalling. 一言既出，驷马难追。 A year's plan starts with spring. 一年之计在于春。 A young idler, an old beggar. 少壮不努力，老大徒伤悲。 Bad news has wings. 好事不出门，坏事传千里。 Barking dogs seldom bite. 吠犬不咬人。 Beauty lies in the love's eyes. 情人眼里出西施。 Be swift to hear, slow to speak. 听宜敏捷，言宜缓行。 Better late than never. 不怕慢，单怕站。 Better to ask the way than go astray. 问路总比迷路好。 Between friends all is common. 朋友之间不分彼此。 Birds of a feather flock together. 物以类聚，人以群分。 Blood is thicker than water. 血浓于水。 Blood will have blood. 血债血偿。 Books and friends should be few but good. 读书如交友，应求少而精。 Business is business. 公事公办。 Business is the salt of life. 事业是人生的第一需要。 By reading we enrich the mind, by conversation we polish it. 读书使人充实，交谈使人精明。 Cannot see the wood for the trees. 一叶障目，不见泰山。 Care and diligence bring luck. 谨慎和勤奋才能抓住机遇。 Caution is the parent of safety. 小心驶得万年船。 Cheats never prosper. 骗人发不了财。 Children are what the mothers are. 耳濡目染，身教言传。 Choose an author as you choose a friend. 择书如择友。 Come what may, heaven won't fall. 做你的吧，天塌不下来。 Complacency is the enemy of study. 学习的敌人是自己的满足。 Confidence in yourself is the first step on the road to success. 自信是走向成功的第一步。 Constant dripping wears away a stone. 水滴石穿，绳锯木断。 Content is better than riches. 知足者常乐。 Count one's chickens before they are hatched. 蛋未孵先数雏。 Courtesy on one side only lasts not long. 来而不往非礼也。 Creep before you walk. 循序渐进。 Cry for the moon. 海底捞月。 Custom is a second nature. 习惯是后天养成的。 Custom makes all things easy. 有个好习惯，事事皆不难。 Diamond cuts diamond. 强中自有强中手。 Do as the Romans do. 入乡随俗。 Do as you would be done by. 己所不欲，勿施于人。 Doing is better than saying. 与其挂在嘴上，不如落实在行动上。 Do it now. 机不可失，时不再来。 Do nothing by halves. 凡事不可半途而废。 Don't claim to know what you don't know. 不要不懂装懂。 Don't have too many irons in the fire. 不要揽事过多。 Don't make a mountain out of a molehill. 不要小题大做。 Don't put off till tomorrow what should be done today. 今日事，今日毕。 Don't put the cart before the horse. 不要本末倒置。 Don't trouble trouble until trouble troubles you. 不要自找麻烦。 Don't try to teach your grandmother to suck eggs. 不要班门弄斧。 Do well and have well. 善有善报。 Each bird love to hear himself sing. 孤芳自赏。 Early to bed and early to rise makes a man healthy, wealthy and wise. 早睡早起身体好。 Easier said than done. 说得容易，做得难。 Easy come, easy go. 来也匆匆，去也匆匆。 Eat to live, but not live to eat. 人吃饭是为了活着，但活着不是为了吃饭。 Empty vessels make the greatest sound. 实磨无声空磨响，满瓶不动半瓶摇。 Envy has no holidays. 忌妒之人无宁日。 Even Homer sometimes nods. 智者千虑，必有一失。 Even reckoning makes long friends. 亲兄弟，明算账。 Every advantage has its disadvantage. 有利必有弊。 Everybody's business is nobody's business. 人人负责，等于没人负责。 Every day is not Sunday. 好景不常在。 Every dog has his day. 谁都有得意的时候。 Every door may be shut, but death's door. 人生在世，唯死难逃。 Every heart has its own sorrow. 各人有各人的苦恼。 Every little helps a mickle. 聚沙成塔，集腋成裘。 Every man for himself, and the devil takes the hindmost. 人不为己，天诛地灭。 Every man has his faults. 金无足赤，人无完人。 Every man has his hobbyhorse. 萝卜青菜，各有所爱。 Every man has his weak side. 人人都有弱点。 Every man is the architect of his own fortune. 自己的命运自己掌握。 Every minute counts. 分秒必争。 Every mother's child is handsome. 孩子是自己的好。 Every potter praises hit pot. 王婆卖瓜，自卖自夸。 Everything is good when new, but friends when old. 东西是新的好，朋友是老的亲。 Example is better then percept. 说一遍，不如做一遍。 Experience is the father of wisdom and memory the mother. 经验是智慧之父，记忆是智慧之母。 Experience must be bought. 吃一堑，长一智。 Fact speak louder than words. 事实胜于雄辩。 Failure is the mother of success. 失败是成功之母。 False friends are worse than bitter enemies. 明枪易躲，暗箭难防。 Far from eye, far from heart. 眼不见，心不烦。 Far water does not put out near fire. 远水救不了近火。 Faults are thick where love is thin. 一朝情意淡，样样不顺眼。 Fear always springs from ignorance. 恐惧源于无知。 Fields have eyes, and woods have ears. 隔墙有耳。 Fire and water have no mercy. 水火无情。 Fire is a good servant but a bad master. 火是一把双刃剑。 First come, first served. 先来后到。 First impressions are half the battle. 初次见面，印象最深。 First think and then speak. 先想后说。 Fools grow without watering. 朽木不可雕。 Fool's haste is no speed. 欲速则不达。 Fools has fortune. 呆人有呆福。 Fools learn nothing from wise men, but wise men learn much from fools. 愚者不学无术，智者不耻下问。 Forbidden fruit is sweet. 禁果格外香。 Fortune favors those who use their judgement. 机遇偏爱善断之人。 Fortune knocks once at least at every man's gate. 风水轮流转。 Four eyes see more than two. 集思广益。 Friends agree best at distance. 朋友之间也会保持距离。 Friends are thieves of time. 朋友是时间的窃贼。 Friends must part. 再好的朋友也有分手的时候。 Genius is nothing but labor and diligence. 天才不过是勤奋而已。 Give a dog a bad name and hang him. 众口铄金，积毁销骨。 God helps those who help themselves. 自助者天助。 Gold will not buy anything. 黄金并非万能。 Good for good is natural, good for evil is manly. 以德报德是常理，以德报怨大丈夫。 Good health is over wealth. 健康是最大的财富。 Good medicine for health tastes bitter to the mouth. 良药苦口利于病。 Good watch prevents misfortune. 谨慎消灾。 Great barkers are no biters. 好狗不挡道。 Great hopes make great man. 伟大的抱负造就伟大的人物。 Great minds think alike. 英雄所见略同。 Great men have great faults. 英雄犯大错误。 Great men's sons seldom do well. 富不过三代。 Great trees are good for nothing but shade. 大树底下好乘凉。 Great wits have short memories. 贵人多忘事。 Greedy folks have long arms. 心贪手长。 Guilty consciences make men cowards. 做贼心虚。 Habit cures habit. 心病还需心药医。 Handsome is he who does handsomely. 行为漂亮才算美。 Happiness takes no account of time. 欢乐不觉时光过。 Happy is he who owes nothing. 要想活得痛快，身上不能背债。 Happy is the man who learns from the misfortunes of others. 吸取他人教训，自己才会走运。 Harm set, harm get. 害人害己。 Hasty love, soon cold. 一见钟情难维久。 Health is better than wealth. 健康胜过财富。 Health is happiness. 健康就是幸福。 Hear all parties. 兼听则明。 Heaven never helps the man who will not act. 自己不动，叫天何用。 He is a fool that forgets himself. 愚者忘乎所以。 He is a good friend that speaks well of us behind our backs. 背后说好话，才是真朋友。 He is a wise man who speaks little. 聪明不是挂在嘴上。 He is lifeless that is faultless. 只有死人才不犯错误。 He is not fit to command others that cannot command himself. 正人先正己。 He is not laughed at that laughs at himself first. 自嘲者不会让人见笑。 He is wise that is honest. 诚实者最明智。 He knows most who speaks least. 大智若愚。 He laughs best who laughs last. 谁笑到最后，谁笑得最好。 He sets the fox to keep the geese. 引狼入室。 He that climbs high falls heavily. 爬得越高，摔得越重。 He that will not work shall not eat. 不劳动者不得食。 He who does not advance loses ground. 逆水行舟，不进则退。 He who makes constant complaint gets little compassion. 经常诉苦，没人同情。 He who makes no mistakes makes nothing. 想不犯错误，就一事无成。 He who risks nothing gains nothing. 收获与风险并存。 History repeats itself. 历史往往重演。 Honesty is the best policy. 做人诚信为本。 Hope for the best, but prepare for the worst. 抱最好的愿望，做最坏的打算。 I cannot be your friend and your flatterer too. 朋友不能阿谀奉承。 If a man deceives me once, shame on him, if he deceives me twice, shame on me. 上当一回头，再多就可耻。 If you make yourself an ass, don't complain if people ride you. 人善被人欺，马善被人骑。 If your ears glow, someone is talking of you. 耳朵发烧，有人念叨。 If you run after two hares, you will catch neither. 脚踏两条船，必定落空。 If you sell the cow, you sell her milk too. 杀鸡取卵。 If you venture nothing, you will have nothing. 不入虎穴，焉得虎子。 If you want knowledge, you must toil for it. 要想求知，就得吃苦。 Industry is the parent of success. 勤奋是成功之母。 It is better to die when life is a disgrace. 宁为玉碎，不为瓦全。 It is easier to get money than to keep it. 挣钱容易攒钱难。 It is easy to be wise after the event. 事后诸葛亮好当。 It is easy to open a shop but hard to keep it always open. 创业容易守业难。 It is hard to please all. 众口难调。 It is never too old to learn. 活到老，学到老。 It is no use crying over spilt milk. 覆水难收。 It is the first step that costs troublesome. 万事开头难。 It is the unforeseen that always happens. 天有不测风云，人有旦夕祸福。 It is too late to grieve when the chance is past. 坐失良机，后悔已迟。 It never rains but it pours. 不鸣则已，一鸣惊人。 It takes three generations to make a gentleman. 十年树木，百年树人。 Jack of all trades and master of none. 门门精通，样样稀松。 Judge not from appearances. 人不可貌相，海不可斗量。 Justice has long arms. 天网恢恢，疏而不漏。 Keep good men company and you shall be of the number. 近朱者赤，近墨者黑。 Kill two birds with one stone. 一箭双雕。 Kings go mad, and the people suffer for it. 君王发狂，百姓遭殃。 Kings have long arms. 普天之下，莫非王土。 Knowledge is power. 知识就是力量。 Knowledge makes humble, ignorance makes proud. 博学使人谦逊，无知使人骄傲。 Learn and live. 活着，为了学习。 Learning makes a good man better and ill man worse. 好人越学越好，坏人越学越坏。 Learn not and know not. 不学无术。 Learn to walk before you run. 先学走，再学跑。 Let bygones be bygones. 过去的就让它过去吧。 Let sleeping dogs lie. 别惹麻烦。 Let the cat out of the bag. 泄漏天机。 Lies can never changes fact. 谎言终究是谎言。 Lies have short legs. 谎言站不长。 Life is but a span. 人生苦短。 Life is half spent before we know what it is. 人过半生，方知天命。 Life is not all roses. 人生并不是康庄大道。 Life without a friend is death. 没有朋友，虽生犹死。 Like a rat in a hole. 瓮中之鳖。 Like author, like book. 文如其人。 Like father, like son. 有其父必有其子。 Like for like. 一报还一报。 Like knows like. 惺惺相惜。 Like mother, like daughter. 有其母必有其女。 Like teacher, like pupil. 什么样的老师教什么样的学生。 Like tree, like fruit. 羊毛出在羊身上。 Little things amuse little minds. 小人无大志。 Look before you leap. 摸清情况再行动。 Lookers-on see more than players. 当局者迷，旁观者清。 Losers are always in the wrong. 胜者为王，败者为寇。 Lost time is never found again. 岁月既往，一去不回。 Love at first sight. 一见钟情。 Love cannot be compelled. 爱情不能强求。 Love is blind. 爱情是盲目的。 Love is full of trouble. 爱情充满烦恼。 Love is never without jealousy. 没有妒忌就没有爱情。 Love me, love my dog. 爱屋及乌。 Make hay while the sun shines. 良机勿失。 Make your enemy your friend. 化敌为友。 Man is the soul of the universe. 人是万物之灵。 Man proposes, God disposes. 谋事在人，成事在天。 Many hands make light work. 众人拾柴火焰高。 Many heads are better than one. 三个臭皮匠，赛过诸葛亮。 Many things grow in the garden that were never sown there. 有心栽花花不发，无心插柳柳成荫。 Measure for measure. 针锋相对。 Misfortunes never come alone. 祸不单行。 Misfortune tests the sincerity of friends. 患难见真情。 Money isn't everything. 钱不是万能的。 Murder will out. 纸包不住火。 My son is my son till he has got him a wife, but my daughter is my daughter all the days of her life. 儿子婚前是儿子，女儿终生是女儿。 Nature is the true law. 天行有常，不为尧存，不为桀亡。 Necessity is the mother of invention. 需要是发明的动力。 Never fish in trouble water. 不要混水摸鱼。 Never judge from appearances. 不可以貌取人。 Never say die. 永不言败。 Never too old to learn, never too late to turn. 亡羊补牢，为时未晚。 New wine in old bottles. 旧瓶装新酒。 No cross, no crown. 不经历风雨，怎么见彩虹。 No garden without its weeds. 没有不长草的园子。 No living man all things can. 世上没有万事通。 No man can do two things at once. 一心不可二用。 No man is born wise or learned. 没有生而知之者。 No man is content. 人心不足蛇吞象。 No man is wise at all times. 聪明一世，糊涂一时。 None are so blind as those who won't see. 视而不见。 None are so deaf as those who won't hear. 充耳不闻。 No news is good news. 没有消息就是好消息。 No one can call back yesterday. 昨日不会重现。 No pains, no gains. 没有付出就没有收获。 No pleasure without pain. 没有苦就没有乐。 No rose without a thorn. 没有不带刺的玫瑰。 No sweet without sweat. 先苦后甜。 No smoke without fire. 无风不起浪。 Nothing brave, nothing have. 不入虎穴，焉得虎子。 Nothing dries sooner than a tear. 眼泪干得最快。 Nothing in the world is difficult for one who sets his mind to it. 世上无难事，只怕有心人。 Nothing is difficult to the man who will try. 世上无难事，只要肯登攀。 Nothing seek, nothing find. 没有追求就没有收获。 Nothing is so necessary for travelers as languages. 外出旅行，语言最要紧。 Nothing is to be got without pains but poverty. 世上唯有贫穷可以不劳而获。 Not to advance is to go back. 不进则退。 Not to know what happened before one was born is always to be a child. 不懂世故，幼稚可笑。 No way is impossible to courage. 勇者无惧。 Obedience is the first duty of a soldier. 军人以服从命令为天职。 Observation is the best teacher. 观察是最好的老师。 Offense is the best defense. 进攻是最好的防御。 Old friends and old wines are best. 陈酒味醇，老友情深。 Old sin makes new shame. 一失足成千古恨。 Once a man and twice a child. 一次老，两次小。 Once a thief, always a thief. 偷盗一次，做贼一世。 Once bitten, twice shy. 一朝被蛇咬，十年怕井绳。 One boy is a boy, two boys half a boy, three boys no boy. 一个和尚挑水喝，两个和尚抬水喝，三个和尚没水喝。 One cannot put back the clock. 时钟不能倒转。 One eyewitness is better than ten hearsays. 百闻不如一见。 One false move may lose the game. 一着不慎，满盘皆输。 One good turn deserves another. 行善积德。 One hour today is worth two tomorrow. 争分夺秒效率高。 One man's fault is other man's lesson. 前车之鉴。 One never loses anything by politeness. 讲礼貌不吃亏。 One swallow does not make a summer. 一燕不成夏。 One's words reflect one's thinking. 言为心声。 Out of debt, out of danger. 无债一身轻。 Out of office, out of danger. 无官一身轻。 Out of sight, out of mind. 眼不见，心为静。 Patience is the best remedy. 忍耐是良药。 Penny wise, pound foolish. 贪小便宜吃大亏。 Plain dealing is praised more than practiced. 正大光明者，说到的多，做到的少。 Please the eye and plague the heart. 贪图一时快活，必然留下隐祸。 Pleasure comes through toil. 苦尽甘来。 Pour water into a sieve. 竹篮子打水一场空。 Practice makes perfect. 熟能生巧。 Praise is not pudding. 恭维话不能当饭吃。 Praise makes good men better, and bad men worse. 好人越夸越好，坏人越夸越糟。 Prefer loss to unjust gain. 宁可吃亏，不贪便宜。 Prevention is better than cure. 预防胜于治疗。 Pride goes before, and shame comes after. 骄傲使人落后。 Promise is debt. 一诺千金。 Proverbs are the daughters of daily experience. 谚语是日常经验的结晶。 Pull the chestnut out of fire. 火中取栗。 Put the cart before the horse. 本末倒置。 Put your shoulder to the wheel. 鼎力相助。 Reading enriches the mind. 开卷有益。 Reading is to the mind while exercise to the body. 读书健脑，运动强身。 Respect yourself, or no one else will respect you. 要人尊敬，必须自重。 Rome is not built in a day. 冰冻三尺，非一日之寒。 Saying is one thing and doing another. 言行不一。 Seeing is believing. 眼见为实。 Seek the truth from facts. 实事求是。 Send a wise man on an errand, and say nothing to him. 智者当差，不用交代。 Set a thief to catch a thief. 以贼捉贼。 Short accounts make long friends. 好朋友勤算账。 Something is better than nothing. 聊胜于无。 Soon learn, soon forgotten. 学得快，忘得快。 Soon ripe, soon rotten. 熟得快，烂得快。 Speech is silver, silence is gold. 能言是银，沉默是金。 Still water run deep. 静水常深。 Strike the iron while it is hot. 趁热打铁。 Success belongs to the persevering. 坚持就是胜利。 Take things as they come. 既来之，则安之。 Talking mends no holes. 空谈无补。 Talk of the devil and he will appear. 说曹操，曹操就到。 Tall trees catch much wind. 树大招风。 Teach others by your example. 躬亲示范。 The best hearts are always the bravest. 无私者无畏。 The best man stumbles. 伟人也有犯错时。 The cat shuts its eyes when stealing. 掩耳盗铃。 The danger past and God forgotten. 过河拆桥。 The darkest hour is nearest the dawn. 黎明前的黑暗。 The darkest place is under the candlestick. 烛台底下最暗。 The devil knows many things because he is old. 老马识途。 The devil sometimes speaks the truth. 魔鬼有时也会说真话。 The die is cast. 木已成舟。 The early bird catches the worm. 早起的鸟儿有虫吃。 The end justifies the means. 只要目的正当，可以不择手段。 The end makes all equal. 死亡面前，人人平等。 The eye is bigger than the belly. 贪多嚼不烂。 The farthest way about is the nearest way home. 抄近路反而绕远路。 The finest diamond must be cut. 玉不琢，不成器。 The fire is the test of gold, adversity of strong man. 烈火验真金，艰难磨意志。 The first step is the only difficulty. 迈出第一步是最艰难的。 The fox knew too much, that's how he lost his tail. 机关算尽太聪明，反误了卿卿性命。 The fox preys farthest from home. 兔子不吃窝边草。 The frog in the well knows nothing of the great ocean. 坐井观天。 The grass is greener on the other side. 这山望着那山高。 The greatest talkers are always least doers. 语言的巨人总是行动的矮子。 The higher up, the greater the fall. 爬得高，摔得惨。 The leopard cannot change its spots. 本性难移。 The more noble, the more humble. 人越高尚，越谦虚。 The more wit, the less courage. 初生牛犊不怕虎。 The outsider sees the most of the game. 旁观者清。 The pen is mightier than the sword. 笔能杀人。 The pot calls the kettle black. 五十步笑百步。 There are spots in the sun. 太阳也有黑点。 There are two sides to every question. 问题皆有两面。 There is a skeleton in the cupboard. 家家有本难念的经。 There is kindness to be found everywhere. 人间处处有温情。 There is no general rule without some exception. 任何法规均有例外。 There is no medicine against death. 没有长生不老药。 There is no place like home. 金窝银窝不如咱的狗窝。 There is no royal road to learning. 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 The style is the man. 字如其人。 The tongue is not steel, yet it cuts. 人言可畏。 The water that bears the boat is the same that swallows it up. 水能载舟，亦能覆舟。 The wise man knows he knows nothing, the fool thinks he knows all. 清者自清，浊者自浊。 The wolf has a winning game when the shepherds quarrel. 螳螂捕蝉，黄雀在后。 The world is a ladder for some to go up and others to go down. 世界如阶梯，有人上有人下。 The world is but a little place, after all. 海内存知己，天涯若比邻。 Think twice before you do. 三思而后行。 Things at the worst will mend. 否极泰来。 Time and tide wait for no man. 时不我待。 Time cures all things. 时间是医治一切创伤的良药。 Time flies. 光阴似箭。 Time is money. 时间就是金钱。 Time lost cannot be won again. 时光流逝，不可复得。 Time past cannot be called back again. 时间不能倒流。 Time tries all. 路遥知马力，日久见人心。 Tit for tat is fair play. 人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 To err is human. 人非圣贤，孰能无过。 To know everything is to know nothing. 什么都知道，一如什么都不知道。 To know oneself is true progress. 人贵有自知之明。 Tomorrow never comes. 我生待明日，万事成蹉跎。 Too much familiarity breeds contempt. 过分熟悉会使人互不服气。 Too much knowledge makes the head bald. 学问太多催人老。 Too much liberty spills all. 自由放任，一事无成。 Too much praise is a burden. 过多夸奖，反成负担。 To save time is to lengthen life. 节约时间就是延长生命。 Touch pitch, and you will be defiled. 常在河边走，哪有不湿鞋。 Troubles never come singly. 福无双至，祸不单行。 Truth never grows old. 真理永存。 Turn over a new leaf. 洗心革面，改过自新。 Two dogs strive for a bone, and a third runs away with it. 鹬蚌相争，渔翁得利。 Two heads are better than one. 一个好汉三个帮。 Two of a trade seldom agree. 同行是冤家。 Two wrongs do not make a right. 别人错了，不等于你对了。 Unity is strength. 团结就是力量。 Unpleasant advice is a good medicine. 忠言逆耳利于行。 Until all is over one's ambition never dies. 不到黄河心不死。 Venture a small fish to catch a great one. 吃小亏占大便宜。 Virtue is fairer far than beauty. 美德远远胜过美貌。 Walls have ears. 小心隔墙有耳。 Wash your dirty linen at home. 家丑不可外扬。 Water dropping day by day wears the hardest rock away. 滴水穿石。 Wealth is nothing without health. 失去健康，钱再多也没用。 We know not what is good until we have lost it. 好东西，失去了才明白。 Well begun is half done. 好的开始，是成功的一半。 We never know the worth of water till the well is dry. 井干方知水可贵。 We shall never have friends if we expect to find them without fault. 欲求完美无缺的朋友必然成为孤家寡人。 We should never remember the benefits we have offered nor forget the favor received. 自己的好事别去提，别人的恩惠要铭记。 Wet behind the ears. 乳臭未干。 Whatever you do, do with all your might. 不管做什么，都要一心一意。 What is learned in the cradle is carried to the grave. 儿时所学，终生难忘。 What's done cannot be undone. 生米煮成熟饭了。 What's lost is lost. 失者不可复得。 What we do willingly is easy. 愿者不难。 When in Rome, do as the Romans do. 入国问禁，入乡随俗。 When everybody's somebody then nobody's anybody. 人人都伟大，世间没豪杰。 When sorrow is asleep, wake it not. 伤心旧事别重提。 When sorrows come, they come not single spies, but in battalions. 新仇旧恨，齐上心头。 When the fox preaches, take care of your geese. 黄鼠狼给鸡拜年，没安好心。 When wine is in truth, wit is out. 酒后吐真言。 Where there is a will, there is a way. 有志者事竟成。 Where there is life, there is hope. 留得青山在，不怕没柴烧。 Where there is smoke, there is fire. 事出有因。 While the priest climbs a post, the devil climbs ten. 道高一尺，魔高一丈。 Who chatters to you, will chatter of you. 搬弄口舌者必是小人。 Whom the gods love die young. 好人不长命。 Wise man have their mouths in their hearts, fools have their hearts in their mouths. 智者嘴在心里，愚者心在嘴里。 Work makes the workman. 勤工出巧匠。 You cannot burn the candle at both ends. 蜡烛不能两头点，精力不可过分耗。 You cannot eat your cake and have it. 鱼与熊掌，不可得兼。 You can take a horse to the water but you cannot make him drink. 强扭的瓜不甜。 You may know by a handful the whole sack. 由一斑可知全貌。 You never know what you can till you try. 是驴子是马，拉出来遛遛。 February 17 谈论有趣的短信在朋友的blog上看到的，挺深刻的。
引用 有趣的短信 |
|
|
